Básico - Construção de Triângulos (IV)

Desafio:
Reconstruir um triângulo de que se conhecem um vértice e as rectas que contêm a mediana, a altura e a bissectriz por ele tiradas.

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Pode estudar a nossa resolução:

Reconstrução

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Outro(s) desafio(s):

Construir um triângulo de que se conhecem os comprimentos de uma altura e dois outros elementos.

Considere-se um triângulo [ABC], em relação ao qual adoptamos as seguintes designações: a=BC, b=AC, c=AB e h' a altura tirada a partir de A.
1) Dados a, b e h'
2) Dados b, c e h'
3) Dados b, ângulo B e h'
4) Dados ângulo B, ângulo C e h'
5) Dados a, ãngulo B e h'
6) Dados b, ângulo A e h' - solução de Sofia Canoso

Básico - Construção de Triângulos (III)

Desafio:
Reconstruir um triângulo de que se conhece um vértice e as rectas que contêm as suas bissectrizes.

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Sugestão.
Desenhe um triângulo e as suas bissectrizes (que se intersectam no incentro)dos ângulos internos. Pense em usar a perpendicular à bissectriz tirada pelo vértice do ângulo. Pode confirmar o que se pretende com a nossa construção:

Sugestão: resultado com bissectrizes de um triângulo

Resposta ao desafio:
Se não tiver reconstruído o triângulo, pode ver a nossa construção com Cinderella.

Construção dinâmica de um triângulo dados um vértice e as três bissectrizes

Básico - Construção de Triângulos (II)

Construção dinâmica de um triângulo dados dois lados e o ângulo por eles formado

Para ver a nossa construção dinâmica, bastará clicar sobre a nossa figura.
Nesta construção, é importante lembrar que afinal só transportamos segmentos. Não é? De facto, para transportar o ângulo usamos o compasso para, em primeiro lugar, desenhar duas circunferências de igual raio uma com centro no vértice do ângulo dado e outra no vértice do triângulo a construir. E, depois, sobre a cirucnferência de centro no vértice do ângulo a transferir, transferir a sua corda cujos extremos são os pontos de intersecção com os lados (em circunferências iguais, a cordas iguais correspondem iguais ângulos ao centro).
Algumas outras construções que proporemos podem aguçar o apetite para estes assuntos básicos de geometria dos triângulos.

Assisti recentemente a uma aula em que o professor se esforçou para que alunos do 7º ano de escolaridade fizessem construções rigorosas. Podia ter escolhido melhor os exemplos e podia ter dado mais tempo para que os alunos fizessem as construções. Mas, pelo que vi, é certo que os estudantes têm ideias preconcebidas sobre o trabalho com ferramentas e não as levam para a sala de aula. E é verdade também que não escrevem. Reparei também que os estudantes dão definições decoradas como respostas a perguntas que dependeriam da observação do que lhes é mostrado. Está difícil.

Básico - Construção de Triângulos (I)

No ensino básico, aprendem-se muitas coisas sobre ângulos e triângulos. Devia ser tudo acompanhado de muito desenho e raciocínios geométricos apoiados em instrumentos de desenho. Infelizmente, a utilização de instrumentos de desenho está a ser cada vez menos frequente e começamos a aceitar que os estudantes não tragam consigo as ferramentas próprias do trabalho - régua, esquadro, compasso, transferidor. Do ponto de vista formativo (e ao contrário do que se pensa muitas vezes) desenhar ilustrações de pensamentos sem preocupações de rigor não ajuda à abstracção. Ainda menos ajuda se os estudantes não verbalizarem os pensamentos e os não escreverem completamente na língua em que pensam. Parte das falhas podem ser colmatadas pelo uso de programas informáticos (como o que aqui usamos) já que os estudantes terão de escolher ferramentas de desenho para cada construção e simulam completamente a actividade que deviam desenvolver e já não desenvolvem no ambiente de lápis e papel.

Na sala de aula, os estudantes devem fazer algumas construções com cuidado e devem ser chamados a fazer raciocínios geométricos que as apoiam.
Aqui deixamos uma construção do triângulo dados os seus lados. O desenho final no quadro seria assim:

Construção dinâmica de um triângulo dados os seus lados

Em primeiro lugar, a construção a branco sobre o fundo negro do quadro é bonita. E resulta de trabalho pensado. Vamos construir, a partir de um ponto A do quadro, um triângulo [ABC] de lados previamente estabelecidos - a, b e c - em que a é o lado oposto ao vértice A, b o lado oposto ao vértice B e c o lado oposto ao vértice C.
Assim, B deve estar à distância c de A, isto é, deve estar sobre uma circunferência de centro em A e raio igual a c. Com o compasso, posso transportar o comprimento c. (Cada ponta do compasso sobre um extremo de c e leva-se o compasso até A mantendo a abertura do compasso. Com a ponta seca sobre A, desenha-se a circunferência que queremos). B pode ser um ponto qualquer desta circunferência. Se quero que C esteja à distãncia b de A, basta desenhar a circunferência de centro em A e raio b. C deverá estar sobre essa circunferência. Mas onde? Bem, tem de estar nessa circunferência mas ao mesmo tempo na circunferência de centro em B e raio a. Não é? Façamos os transportes todos.

Bem. Isso é o que deve fazer para construir o triângulo.

Agora pode clicar sobre o nosso desenho final (branco sobre o negro do quadro) para ter acesso à nossa construção dinâmica. E, como pode manipular a figura deslocando os pontos a verde, deve poder verificar se há sempre triângulos quaisquer que sejam a, b e c. E se não há, quando é que isso acontece? E quando há... qual é a relação entre os lados a, b e c?
Está a ver a utilidade da geometria dinâmica? Gosto muito de quadros negros e de instrumentos de desenho, mas isto é muito potente, não é?

Ponto de Miquel

No artigo anterior sobre a recta de Droz-Farny, refere-se Jean-Louis Ayme e a sua demonstração sintética do Teorema de Droz-Farny, publicada no Forum Geometricorum. Nesta demonstração, J-L Ayme recorre a um Teorema de Miquel* que enuncia assim: Se marcarmos um ponto sobre cada um dos lados de um triângulo e tormarmos a circunferência que passa por cada vértice e pelos dois pontos marcados nos lados adjacentes, obtemos três circunferências que se intersectam num ponto. Diz ainda J-L Ayme, na pequena nota, que muito poucos geómetras contemporâneos de Miquel tiveram consciência de que o resultado de Miquel daria origem a um sem número de teoremas. Há referências a resultados atribuídos a Miquel, mas não encontramos notas biográficas. Por exemplo na enciclopédia mathworld - letra M , podemos encontrar sete entradas com o nome de Miquel - Miquel Circles, Miquel Equation, Miquel Five Circles Theorem, *Miquel's Pivot Theorem, Miquel Point, Miquel'Theorem e Miquel Triangle.

Esta referência lembrou-nos que já tínhamos feito uma construção sobre o ponto de Miquel, sugerida pelo Dicionário de Geometria Curiosa de David Wells que foi editado em Portugal pela Gradiva.

Tomemos quatro rectas a, b, c e d concorrentes duas a duas. Ficam definidos quatro triângulos cujas circunfer�ncias circunscritas se interesectam num ponto M, a que chamamos ponto de Miquel. Melhor ainda: Há uma circunfer�ncia que passa pelos quatro circuncentros e, por onde?, pelo ponto de Miquel.

Figura de J-L Ayme

Se clicar sobre a figura, tem acesso à nossa construção. Pode movimentar as rectas na figura. Pode tentar demonstrar o resultado, para além de fazer a sua própria constru�ão com o Cinderella.

Nota:
Auguste Miquel; Mémoire de Géométrie, Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville 1 (1838) 485-487.
E desafiamos o leitor a procurar a biografia de A. Miquel, bem como referências a Miquel. Bem merece ser conhecido - diz o companheiro Aurélio - embora acrescente que há outras coisas divertidas para fazer na vida.

Recta de Droz-Farny

No artigo anterior, apresentámos construções dinâmicas (animações, mesmo em alguns casos) relativas aos pontos e rectas notáveis de um triângulo. Os casos espantosos das rectas de Euler (colinearidade dos baricentro, ortocentro e circuncentro de um triângulo) e de Simson (colinearidade dos pés das perpendiculares aos lados de um triângulo tiradas de um ponto da circunferência circunscrita) foram apresentados então. Com o Cinderella estes resultados adquirem um novo interesse. Ao trabalhar com o Cinderella, pode acompanhar por coordenadas e equações respectivas (a um referencial sempre presente) cada passo da construção (Vistas - Texto da Construção) e, se tiver feito a construção com todo o cuidado, pode obter a confirmação de que um dos pontos pertence à recta que passa por dois dos pontos notáveis que a definiu (Vistas - Janela de Informações). Não se trata, nestes casos, de simples constatação visual ou informação para apoiar uma conjectura.
No volume 4(2004) do Forum Geometricorum foram publicados recentemente dois artigos sobre o Teorema de Droz-Farny, a saber:
A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem, de Jean-Louis Ayme e A Projective Generalization of the Droz-Farny Line Theorem, de Jean-Pierre Ehrmann e Floor van Lamoen que me chamaram a atenção para um certo número de resultados que podem ser confirmados através de construções com o Cinderella. Já depois de ter feito algumas construções, e, quando me preparava para publicar as primeiras, encontrei várias construções e animações (applets) com Geometer's SketchPad, Cabri Géomètre e outras aplicações que não reconheço. Há muitos materiais úteis para a sala de aula feitos com essas aplicações (em português também) e delas iremos dando conhecimento por aqui. Aliás, os meus alunos do 11º ano trabalham com o GSP em ambiente de sala de aula, uma vez por semana.

Em 1899, o suiço Arnold Droz-Farny publicou, sem demonstrar, o teorema de que apresentamos o seguinte enunciado apoiado em figura:

Duas rectas perpendiculares que passem pelo ortocentro de um triângulo [ABC], cortam as rectas dos lados em X e X', Y e Y', Z e Z' (como mostra a figura abaixo). Nestas condições, os pontos médios M de [XX'], N de [YY'] e P de [ZZ']são colineares.




Se clicar sobre a figura, tem acesso a uma construção que pode manipular (quer movendo os pontos A,B e C quer movendo Y'X'. Se puder fazer a construção com o seu Cinderella, no seu computador, não se esqueça de abrir desde início o texto da construção e a janela de informações. Quando, ao fim da construção mandar passar uma recta por M e N (por exemplo), a janela de informações confirmará que o ponto P também está sobre MN, isto é, confirmará que M, N e P são colineares.

O artigo do Forum Geometricorum aqui citado em primeiro lugar contempla, para além da demonstração sintética do teorema, uma pequena resenha biográfica de Arnold Droz-Farny. Esperamos também ter chamado a atenção para o Forum Geometricorum. Com uma simples inscrição pode receber gratuitamente informação sobre o que lá vai sendo publicado e pode também gratuitamente carregar os artigos (em.pdf ou .ps)