Problema de Malfatti

Um dos problemas de construção que ocupou algum tempo a António Aurélio e acabou por ser resolvido por Mariana Sacchetti, seguindo uma construção de Steiner, é conhecido como problema de Malfatti. Desistimos de o colocar como um problema interactivo (está aliás proposto no Geometriagon, como exercício 869), mas aqui o deixamos alinhavado.

O problema de Malfatti é o seguinte:

Num triângulo ABC inscrever três círculos, cada um tangente aos outros dois e a dois lados do triângulo.





A Mariana também estudou e resolveu

• o chamado problema original de Malfatti (Geometriagon 870)
  
  Num dado triângulo, inscrever três círculos somando uma área total máxima


• e o chamado problema dual do problema de Malfatti (Geometriagon 868)
  
  Dados dois círculos circunscrever-lhes os dois triângulos equiláteros de área mínima.

Aqui ficam os enunciados.

Perspectiva de Mannheim

Sejam A’, B’, C’ os pontos de contacto das três circunferências de Mannheimm do triângulo ABC com o circuncírculo. Os triângulos ABC e A’B’C’ estão em perspectiva de centro P.

Centro radical das circunferências de Mannheim

O centro radical da três circunferências de Mannheimm do triângulo ABC é um ponto Cr que é colinear com o incentro I e o circuncentro O.

Circunferências de Mannheim

Além da circunferência tangente aos lados de vértice em C, há duas outras: a tangente aos lados de vértice em A e a tangente aos lados de vértice em B.

Das circunferências de Thebault à de Mannheim

Publicamos de novo uma construção recente: as circunferências de Thebault.





Se deslocar o ponto P sobre a recta BC até coincidir com, por exemplo o vértice C, verificará que a circunferência de centro C2 passa a ter raio 0; a circunferência de centro C1 fica tangente aos lados BC e AC e à circunferência circunscrita - é a chamada “circunferência de Mannheim”.

Nota: Os pontos de tangência da Circunferência de Mannheimm aos lados BC e AC são as intersecções com estas rectas da perpendicular à bissectriz do ângulo em C, tirada pelo incentro I de ABC. Porquê?

Com um duplo clique sobre a figura, tem acesso ao GeoGebra e à construção feita para trabalhar sobre ela ou a partir dela.